Question

以下命題中，真命題有（　　）
①已知平面α、β和直線m，若m∥α且α⊥β，則m⊥β．
②“若x²＜1，則-1＜x＜1”的逆否命題是“若x＜-1或x＞1，則x²＞1”．
③已知△ABC，D為AB邊上一點，若

AD

=2

DB

，

CD

=

1

3

CA

+λ

CB

，則λ=

2

3

．
④著實數x，y滿足約束條件

x-y≤0 x+y-1≥0 x-2y+2≥0

，則z=2x-y的最大值為2．

• A、0個
• B、1個
• C、2個
• D、3個

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：簡易邏輯

分析：對于①，由空間中的線面關系判斷真假；
對于②，寫出原命題的逆否命題判斷真假；
對于③，通過畫圖把

CD

用

CA

與

CB

線性表示，則λ值可求；
對于④，由約束條件作出可行域，求得最優解的坐標，代入目標函數求得最大值．

解答：解：對于①，m∥α且α⊥β，則m與β的位置關系可能有如下幾種情況：
m?β或m∥β或m與β相交．命題①是假命題；
對于②，“若x²＜1，則-1＜x＜1”的逆否命題是“若x≤-1或x≥1，則x²≥1”．
命題②是假命題；
對于③，如圖，

∵

AD

=2

DB

，
∴

CD

=

CA

+

AD

=

CA

+

2

3

AB

=

CA

+

2

3

(

CB

-

CA

)=

1

3

CA

+

2

3

CB

，
又

CD

=

1

3

CA

+λ

CB

，
∴λ=

2

3

．命題③是真命題；
對于④，由約束條件

x-y≤0 x+y-1≥0 x-2y+2≥0

作可行域如圖，

聯立

x-y=0 x-2y+2=0

，解得A（2，2）．
∴z=2x-y的最大值為2．命題④是真命題．
∴真命題有2個．
故選：C．

點評：本題考查了命題的真假判斷與應用，考查了平面向量的應用，訓練了利用線性規劃求目標函數的最值，是中檔題．