Question

【題目】如圖，四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，AB=3，AC=4，AD=5，SA⊥平面ABCD．

（1）證明：AC⊥平面SAB；
（2）若SA=2，求三棱錐A﹣SCD的體積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，

AB=3，AC=4，AD=5，

∴BC2=AB2+AC2，AC⊥AB，

∵SA⊥平面ABCD，∴SA⊥AC，

∵AB∩SA=A，∴AC⊥平面SAB

（2）解： VA﹣SCD=VS﹣ACD= ，

∵SA⊥平面ABCD，

∴SA是三棱錐S﹣ACD的高，

S△ACD= = =6，

∴VA﹣SCD=VS﹣ACD

= = ．

【解析】（1）推導出AC⊥AB，SA⊥AC，由此能證明AC⊥平面SAB．（2）由VA﹣SCD=VS﹣ACD ， 能求出三棱錐A﹣SCD的體積．
【考點精析】利用直線與平面垂直的判定對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．