Question

【題目】已知α∈[0，π），在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)）；在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線l2的極坐標(biāo)方程是ρcos（θ﹣α）=2sin（α+ ）．
（Ⅰ）求證：l1⊥l2
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為（2， ），P為直線l1 ， l2的交點(diǎn)，求|OP||AP|的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：直線l1的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)）；

消去參數(shù)t可得：直線l1的普通方程為：xsinα﹣ycosα=0．

又直線l2的極坐標(biāo)方程是ρcos（θ﹣α）=2sin（α+ ）．展開為ρcosθcosα+ρsinθsinα=2sin（α+ ）．

即直線l2的直角坐標(biāo)方程為：xcosα+ysinα﹣2sin（α+ ）=0．

因?yàn)閟inαcosα+（﹣cosα）sinα=0，

根據(jù)兩直線垂直的條件可知，l1⊥l2．

（Ⅱ）當(dāng)ρ=2， 時(shí)，ρcos（θ﹣α）=2cos =2sin（α+ ）．

所以點(diǎn)A（2， ），在直線ρcos（θ﹣α）=2sin（α+ ）上．

設(shè)點(diǎn)P到直線OA的距離為d，由l1⊥l2可知，d的最大值為 =1．

于是|OP||AP|=d|OA|=2d≤2

所以|OP||AP|的最大值為2

【解析】（Ⅰ）直線l1的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)）；消去參數(shù)t可得：直線l1的普通方程．又直線l2的極坐標(biāo)方程是ρcos（θ﹣α）=2sin（α+ ）．展開為ρcosθcosα+ρsinθsinα=2sin（α+ ）．利用互化公式可得直線l2的直角坐標(biāo)方程，根據(jù)兩直線垂直的條件即可證明：l1⊥l2．（Ⅱ）當(dāng)ρ=2， 時(shí)，滿足方程ρcos（θ﹣α）=2sin（α+ ）．可得點(diǎn)A（2， ），在直線ρcos（θ﹣α）=2sin（α+ ）上．設(shè)點(diǎn)P到直線OA的距離為d，由l1⊥l2可知，d的最大值為 =1．即可得出|OP||AP|=d|OA|=2d最大值．