Question

【題目】如圖，在正方體中， 是的中心， 分別是線段上的動點，且， ．

（Ⅰ）若直線平面，求實數的值；

（Ⅱ）若，正方體的棱長為2，求平面和平面所成二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：（Ⅰ）取的中點，連，由直線平面可證得，根據平行線分線段成比例定理可得，即，得到；（Ⅱ）建立空間直角坐標系，求出平面的法向量、平面的法向量，利用向量的夾角求解即可。

試題解析：

（Ⅰ）取的中點，

∵是正的中心

∴點在上，且，

連,

∵平面,平面平面,

∴

∴,

∴,

∴.

（Ⅱ）當時，點分別是的中點，以為原點建立如圖所示的空間直角坐標系,則。

設平面的一個法向量為，

由，

得 ，令，得。

同理可得平面的一個法向量為

∴.

由圖形知，平面和平面所成二面角為銳角，

∴平面和平面所成二面角的余弦值為。