Question

如圖，在斜三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AB⊥側面BB₁C₁C，BC＝2，BB₁＝4，AB＝，∠BCC₁＝60°.

（Ⅰ）求證：C₁B⊥平面A₁B₁C₁；
（Ⅱ）求A₁B與平面ABC所成角的正切值；
（Ⅲ）若E為CC₁中點，求二面角A—EB₁—A₁的正切值.

Answer 1

（Ⅰ）由余弦定理可得BC₁＝
利用BC²＋BC₁²＝CC₁²得C₁B⊥CB，
又平面A₁B₁C₁∥平面ABC 得到 C₁B⊥平面A₁B₁C₁.
（Ⅱ）;
（Ⅲ）二面角的正切值為.

解析試題分析：（Ⅰ）證明：∵BC＝2，CC₁＝4，∠BCC₁＝60°由余弦定理可得BC₁＝
∴BC²＋BC₁²＝CC₁²  ∴∠CBC₁＝90° ∴C₁B⊥CB             2分
又AB⊥面BB₁C₁C ∴C₁B⊥AB，AB∩CB＝B ∴C₁B⊥平面ABC，
又平面A₁B₁C₁∥平面ABC  ∴ C₁B⊥平面A₁B₁C₁             4分
（Ⅱ）∵平面A₁B₁C₁∥平面ABC      
∴A₁B與平面ABC所成的角等于A₁B與平面A₁B₁C₁所成的角            5分
由（Ⅰ）知C₁B⊥平面ABC  ∴C₁B⊥平面A₁B₁C₁    
∴∠BA₁C₁即為A₁B與平面A₁B₁C₁所成的角               6分
∠BC₁ A₁＝90° A₁C₁ ∴         8分
（Ⅲ）CE＝BC＝2，∠BCE＝60° ∴BE＝2 ∠EC₁B₁＝120°  C₁E＝C₁B₁＝2 ∴EB₁
∴BE²＋B₁E²＝B₁B²  ∴∠BEB₁＝90°即B₁E⊥BE  又AB⊥平面BCC₁B₁
∴B₁E⊥AE   ∴∠AEB為二面角A—EB₁—B的平面角          9分
              10分
又∵A₁B₁⊥平面B₁EB    ∴平面A₁B₁E⊥平面B₁EB
∴二面角A—EB₁—A₁的大小為＝90°－∠AEB                 11分

即所求二面角的正切值為               13分
解法二：易知，面，，面，
∴異面直線與所成角即為所求二面角的大小.        10分
∵∴即為異面直線與所成角，        11分
易得，即所求二面角的正切值為           13分
考點：本題主要考查立體幾何中的垂直關系、角的計算。
點評：典型題，立體幾何題，是高考必考內容，往往涉及垂直關系、平行關系、角、距離、體積的計算。在計算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計算”的步驟，利用空間向量，省去繁瑣的證明，也是解決立體幾何問題的一個基本思路。注意運用轉化與化歸思想，將空間問題轉化成平面問題。