Question

【題目】已知直線（）與軸交于點(diǎn)，動(dòng)圓與直線相切，并且與圓相外切，

（1）求動(dòng)圓的圓心的軌跡的方程；

（2）若過原點(diǎn)且傾斜角為的直線與曲線交于兩點(diǎn)，問是否存在以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（）（2）故不存在以為直徑的圓恰好過點(diǎn)

【解析】試題分析：（1）設(shè)出動(dòng)圓圓心坐標(biāo)，由動(dòng)圓圓心到切線的距離等于動(dòng)圓與定圓的圓心距減定圓的半徑列式求解動(dòng)圓圓心的軌跡方程；
（2）求出過原點(diǎn)且傾斜角為的直線方程，和曲線C聯(lián)立后利用根與系數(shù)關(guān)系得到M，N的橫縱坐標(biāo)的和與積，由，得列式求解m的值，結(jié)合m的范圍說明不存在以MN為直徑的圓過點(diǎn)A．

試題解析：

（1）設(shè)動(dòng)圓圓心為，則，化簡(jiǎn)得（），這就是動(dòng)圓圓心的軌跡的方程.

（2）直線的方程為，代入曲線的方程得

顯然.

設(shè)， ，則 ， ，

而

若以為直徑的圓過點(diǎn)，則，

∴ 由此得

∴，即.

解得>-2

故不存在以為直徑的圓過點(diǎn)