Question

某選手進行實彈射擊訓練，射擊中每次射擊的結果是相互獨立的．已知他每次射擊時，命中環數ξ的分布列如下表：

ξ	8	9	10
P	0.1	0.5	0.4

該選手在訓練時先射擊三次，若三次射擊的總環數不小于29環，則射擊訓練停止；若三次射擊的總環數小于29環，則再射擊三次，然后訓練停止．
（I）求該選手在射擊訓練中恰好射擊三次的概率；
（II）求該選手訓練停止時，射擊的次數η的分布列及期望．

Answer 1

分析：（I）“射擊三次的總環數為30”的事件記為A，“射擊三次的總環數為29”的事件記為B，然后利用n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率公式求出P（A）與P（B），根據互斥事件的概率公式得P（A+B）=P（A）+P（B）；
（II）η的取值為3，6，由（Ⅰ）的結果可得分布列，最后根據數學期望的公式解之即可．

解答：解：（I）“射擊三次的總環數為30”的事件記為A，“射擊三次的總環數為29”的事件記為B．---（1分）
則P（A）=0.4³=0.064，P（B）=

C

1 3

0.42×0.5=0.24．----------------------------（4分）
由已知，事件A與B互斥，所以射擊三次的總環數不小于29環的概率為
P（A+B）=P（A）+P（B）=0.304．----------------------------（6分）
即該選手恰好射擊了三次的概率為0.304．---------------------------（7分）
（II）η的取值為3，6，由（Ⅰ）的結果可得分布列如下

η	3	6
P	0.304	0.696

Eη=3×0.304+6×0.696=5.088．
即該選手訓練停止時射擊的次數η的期望為5.088．---------------------------（12分）

點評：本題主要考查了相互獨立事件的概率乘法公式，以及n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率和離散型隨機變量的期望與分布列，同時考查了計算能力，屬于中檔題．