Question

【題目】對于給定的正整數k，若正項數列滿足，對任意的正整數n（）總成立，則稱數列是“數列”.

（1）證明：若是正項等比數列，則是“數列”；

（2）已知正項數列既是“數列”，又是“數列”，

①證明：是等比數列；

②若，，且存在，使得為數列中的項，求q的值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）①證明見解析②

【解析】

（1）是各項均為正數的等比數列，設公比為q，則，得到答案.

（2）①，，，，變換得到，得到證明.

②，根據題意存在，使得，即，討論和，兩種情況，分別計算得到答案.

（1）是“數列”，理由如下：

因為是各項均為正數的等比數列，不妨設公比為q.

當時，有.

所以是“數列”.

（2）①因為既是“數列”，又是“數列”，

所以，，①，，.②

出①得，，，③，，.④

③④②得，，.

因為數列各項均為正數，所以，.

所以數列從第3項起成等比數列，不妨設公比為.

①中，令得，，所以.

①中，令得，，所以.

所以數列是公比為的等比數列.

②由①知，是等比數列，又因為，則公比為q，故，

所以存在，使得為數列中的項，

即存在，使得，

即，也即（*），

因為，若，（*）式不成立；

則，故，因為，，故，

若，（*）式不成立；

若，則符合題意；

若，則，（*）式不成立；

所以.