Question

已知不等式|x+1|-|x-3|＞a．
（1）若不等式有解，求a的取值范圍；
（2）若不等式的解集為R，求a的取值范圍；
（3）若不等式的解集為∅，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：計算題,函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：運用絕對值不等式的性質可得f（x）的最值，由a小于f（x）的最大值，即可求得（1）；
由a小于f（x）的最小值，即可求得（2）；由a不小于f（x）的最大值，即可求得（3）．

解答： 解：令f（x）=|x+1|-|x-3|，
由||x+1|-|x-3||≤|x+1-（x-3）|=4，
即有-4≤|x+1|-|x-3|≤4，
即有f（x）的最小值為-4，最大值為4．
（1）若不等式有解，則a＜f（x）_max，即有a＜4，即為a的取值范圍是（-∞，4）；
（2）若不等式的解集為R，則a＜f（x）_min，即有a＜-4，即為a的取值范圍是（-∞，-4）；
（3）若不等式的解集為∅，則a≥f（x）_max，即有a≥4，即為a的取值范圍是[4，+∞）．

點評：本題考查絕對值不等式的性質，考查不等式恒成立與有解以及不存在的區別，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．