Question

【題目】在平面直角坐標系中，若，，且.

（Ⅰ）求動點的軌跡的方程；

（Ⅱ）設（Ⅰ）中曲線的左、右頂點分別為、，過點的直線與曲線交于兩點，（不與，重合）.若直線與直線相交于點，試判斷點，，是否共線，并說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析

【解析】

第（Ⅰ）問由且可得點到兩定點的距離之和為常數，可得動點軌跡為橢圓；

第（Ⅱ）問分類討論直線的方程，斜率不存在時可直接求出所需點的坐標；斜率存在時則先設出直線方程，聯立直線方程與橢圓方程求出交點關系，再求出點，利用的關系判斷即可.

解：（Ⅰ）設，，則

.

∴動點的軌跡是以，為焦點的橢圓，

設其方程為，則，，即，，

∴.∴動點的軌跡的方程為.

（Ⅱ）①當直線的斜率不存在時，：，不妨設，，

∴直線的方程為，

令得.

∴.∴點，，共線.

②當直線的斜率存在時，設：，設，.

由消得，

由題意知恒成立，故，，

∴直線的方程為，

令得.

∴ ，

上式中的分子

.

∴，∴點，，共線.

綜上可知，點，，共線.