Question

如圖所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，AB=AC=1，AA₁=2，∠B₁A₁C₁=90°，D為BB₁中點(diǎn)，求證：AD⊥平面A₁DC₁．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：根據(jù)直棱柱的幾何特征，結(jié)合∠B₁A₁C₁=90°，可證得A₁C₁⊥平面A₁B₁BA，進(jìn)而AD⊥A₁C₁，由勾股定理可得A₁D⊥AD，最后由線面垂直的判定定理得到AD⊥平面A₁DC₁．

解答： 證明：∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁，
∴AA₁⊥A₁C₁
又A₁C₁⊥A₁B₁，
∴A₁C₁⊥平面A₁B₁BA
∴AD⊥A₁C₁
∵AD=

2

，A₁D=

2

，AA₁=2，
由AD²+A₁D²=AA12，
得A₁D⊥AD
∵A₁C₁∩A₁D=A₁
∴AD⊥平面A₁DC₁

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力，邏輯思維能力，計(jì)算能力，屬于基本知識(shí)的考查，屬于中檔題．