Question

【題目】如圖，已知過拋物線E：x2=4y的焦點F的直線交拋物線E與A、C兩點，經過點A的直線l1分別交y軸、拋物線E于點D、B（B與C不重合），∠FAD=∠FDA，經過點C作拋物線E的切線為l2 ．
（Ⅰ）求證：l1∥l2；
（Ⅱ）求三角形ABC面積的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：∵拋物線E：x2=4y的焦點F為（0，1），且直線AF的斜率一定存在， 故設AF的方程為：y=kx+1．
設A（x1 ， y1），C（x2 ， y2），（不妨設x2＞0）
由 得x2﹣4kx﹣4=0，x1+x2=4k，x1x2=﹣4，
∵∠FAD=∠FDA，∴AF=DF， ，∴yD=y1+2．
∴直線l1的斜率為k1= ，
∵x1x2=﹣4，∴
又∵ ，∴過C（x2 ， y2）的切線斜率 ．
即k1=k2 ， ∴l1∥l2 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得直線l1的斜率為 ，故直線l1的方程為：
聯立 得 ，
∴x1+xB=2x2 ， ．
∴AB= =2 ，
點C到直線l1的距離為d= = = = =
三角形ABC面積s= =
由（Ⅰ）可得 ，所以當k=0時（x2﹣x1）min=4，
∴當k=0時，三角形ABC面積s= = 取最小值，（s）min=
【解析】（Ⅰ）設AF的方程為：y=kx+1．設A（x1 ， y1），C（x2 ， y2），（不妨設x2＞0）由 得x2﹣4kx﹣4=0，x1+x2=4k，x1x2=﹣4，由∠FAD=∠FDA，得AF=DF，yD=y1+2．即可得k1=k2 ， 可證l1∥l2 ． （Ⅱ）由（Ⅰ）得直線l1的斜率為 ，故直線l1的方程為： 聯立 得
AB= =2 ，
點C到直線l1的距離為d= ，三角形ABC面積s= = ，由（Ⅰ）可得 ，可得當k=0時，三角形ABC面積s= = 取最小值．