Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ． 已知a1=2，Sn+1=4an+2．
（1）設(shè)bn=an+1﹣2an ， 證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

【答案】
（1）解：由S2=4a1+2有a1+a2=4a1+2，解得a2=3a1+2=8，

故a2﹣2a1=4，

又an+2=Sn+2﹣Sn+1=4an+1+2﹣（4an+2）=4an+1﹣4an，

于是an+2﹣2an+1=2（an+1﹣2an），

因此數(shù)列{an+1﹣2an}是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列．

因?yàn)閎n=an+1﹣2an，

所以數(shù)列{bn}是等比數(shù)列

（2）解：由（1）可得an+1﹣2an=4×2n﹣1=2n+1，

于是 ﹣ =1，

因此數(shù)列{ }是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，

所以 =1+n﹣1=n，

所以an=n2n

【解析】（1）由已知推導(dǎo)出數(shù)列{an+1﹣2an}是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，問(wèn)題得以證明；（2）由an+1﹣2an=2n+1 ， 得到數(shù)列{ }是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，問(wèn)題得以解決．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解等比數(shù)列的通項(xiàng)公式（及其變式）的相關(guān)知識(shí)，掌握通項(xiàng)公式：，以及對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)公式的理解，了解如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．