Question

(本題滿分14分) 設等差數列{a_n}的首項a₁為a，公差d＝2，
前n項和為S_n．
(Ⅰ) 若S₁，S₂，S₄成等比數列，求數列{a_n}的通項公式；
(Ⅱ) 證明：n∈N*, S_n，S_n＋1，S_n＋2不構成等比數列．

Answer 1

(Ⅰ)解：因為S_n＝na＋n (n－1)，
S₁＝a，S₂＝2a＋2，S₄＝4a＋12．由于S₁，S₂，S₄成等比數列，因此
＝S₁S₄，即得a＝1．a_n＝2n－1．              
(Ⅱ)證明：采用反證法．不失一般性，不妨設對某個m∈N*，S_m，S_m＋1，S_m＋2構成等比數列，即．因此
a²＋2ma＋2m(m＋1)＝0，     
要使數列{a_n}的首項a存在，上式中的Δ≥0．然而
Δ＝(2m)²－8m(m＋1)＝－4m (2＋m)＜0，矛盾．
所以，對任意正整數n，S_n，S_n＋1，S_n＋2都不構成等比數列

略