Question

已知拋物線C的頂點(diǎn)為O(0,0)，焦點(diǎn)為F(0,1)．

(1)求拋物線C的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)F作直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)．若直線AO、BO分別交直線l：y＝x－2于M、N兩點(diǎn)，求|MN|的最小值．

 

Answer 1

（1）x2＝4y（2）

【解析】(1)由題意可設(shè)拋物線C的方程為x2＝2py(p>0)，則＝1，所以拋物線C的方程為x2＝4y.

(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為y＝kx＋1.

由消去y，整理得x2－4kx－4＝0，

所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.從而|x1－x2|＝4 .又y＝ x，且y＝x－2，

解得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)xM＝.

同理點(diǎn)N的橫坐標(biāo)xN＝.

所以|MN|＝|xM－xN|＝＝8

＝，

令4k－3＝t，t≠0，則k＝.

當(dāng)t>0時(shí)，|MN|＝2.

當(dāng)t<0時(shí)，|MN|＝2≥.

綜上所述，當(dāng)t＝－，即k＝－時(shí)，

|MN|取到最小值，且|MN|的最小值是.