Question

如圖所示，已知△OFQ的面積為S，且

OF

•

FQ

=1，設|

OF

|=c，S=

14

4

c，若以O為中心，F為焦點的雙曲線經過點Q，建立適當的直角坐標系，求|

OQ

|最小時此雙曲線的方程．

Answer 1

考點：雙曲線的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：以O為原點，OF所在直線為x軸建立直角坐標系，并令Q（m，n），則F（c，0），由題設知

OF

•

FQ

=c（m-c）=1．m=c+

1

c

，Q（c+

1

c

，

14

2

）．由此知|

OQ

|²=（c+

1

c

）²+

7

2

，由此入手，當||

OQ

|取最小值時，能夠求出雙曲線的方程．

解答： 解：以O為原點，OF所在直線為x軸建立直角坐標系，
∵|

OF

|=c，
∴F（c，0），
并令Q（m，n），
則S=

14

4

c=

1

2

cn，
∴n=

14

2

．
∵

OF

=（c，0），

FQ

=（m-c，n）=（m-c，

14

2

），
∴

OF

•

FQ

=c（m-c）=1．
∴m=c+

1

c

，
∴Q（c+

1

c

，

14

2

）．
∴|

OQ

|²=（c+

1

c

）²+

7

2

，
∵c+

1

c

≥2，當且僅當c=1時，|

OQ

|²取最小值

15

2

，即|

OQ

|取最小時
此時Q（2，

14

2

），
設雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，
∴

a2+b2=1 4 a2 - 7 2 b2 =1

，
∴a²=

1

2

，b²=

1

2

．
∴所求雙曲線的方程為

x2

1 2

-

y2

1 2

=1

點評：本題考查圓錐曲線的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意積累解題方法．