Question

已知定義域為[0，1]的函數f（x）同時滿足下列三個條件：
①對任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0；
②f（1）=1；
③若x₁≥0，x₂≥0，且x₁+x₂≤1，則有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立
則稱函數f（x）為“友誼函數”．
（1）已知f（x）是“友誼函數”，求f（0）的值；
（2）函數g（x）=2^x-1在區間[0，1]上是否是“友誼函數”？說明你的理由．
（3）已知f（x）是“友誼函數”，假定存在x₀∈[0，1]，使得f（x₀）∈[0，1]，且f[f（x₀）]=x₀．
求證：f（x₀）=x₀．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用

專題：函數的性質及應用

分析：（1）賦值可考慮取x₁=x₂=0，代入f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂），結合已知f（0）≥0，可求f（0）
（2）要判斷函數g（x）=2^x-1在區間[0，1]上是否為“友誼函數，只要檢驗函數g（x）=2^x-1在[0，1]上是否滿足①g（x）＞0；②g（1）=1；③x₁≥0，x₂≥0，且x₁+x₂≤1，有g（x₁+x₂）≥g（x₁）+g（x₂）即可．
（3）利用反正法，先假設f（x₀）≠x₀，然后分f（x₀）＞x₀，f（x₀）＜x₀，兩種情況分別進行論證即可

解答： 解：（1）令x₁=1，x₂=0，則x₁+x₂=1∈[0，1]．
由③，得f（1）≥f（0）+f（1），即f（0）≤0．
又由①，得f（0）≥0，所以f（0）=0．
（2）g（x）=2^x-1是友誼函數．
顯然g（x）=2^x-1在[0，1]上滿足①g（x）≥0；②g（1）=1；下面證明也滿足③：若x₁≥0，x₂≥0，且x₁+x₂≤1，
即x₁，x₂∈[0，1]，x₁+x₂∈[0，1]，有2x₁≥1，2x₂≥1．
則（2x₁-1）（2x₂-1）≥0．
即g（x₁+x₂）-[g（x₁）+g（x₂）]=2x1+x2-1-[（2x1-1）+（2x2-1）]=（2x1-1）（2x2-1）≥0，
故g（x）=2^x-1滿足條件①﹑②﹑③
故g（x）在[0，1]上為友誼函數．
（3）取0≤x₁＜x₂≤1，則0＜x₂-x₁≤1．
所以f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）≥f（x₂-x₁）+f（x₁）≥f（x₁）
故有f（x₁）≤f（x₂）．
假設f（x₀）≠x₀，
若f（x₀）＞x₀，則f[f（x₀）]≥f（x₀）＞x₀．
若f（x₀）＜x₀，則f[f（x₀）]≤f（x₀）＜x₀．
都與題設矛盾，因此f（x₀）=x₀．

點評：本題主要是在新定義下對抽象函數進行考查，在做關于新定義的題目時，一定要先研究定義，在理解定義的基礎上再做題．