Question

【題目】如圖,直三棱柱中,分別為的中點.

(1)證明:平面;

(2)求與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

(1)法一：要證平面，只需證明即可，通過構造平行四邊形可證之；

法二：可先證平面平面，利用面面平行的性質即可得到平面;

（2）法一：由于即為與平面所成的角，利用數據求之；

法二：（等積法）利用等積法計算出到平面的距離，從而要求的答案為：即可.

（1）法一：取中點，連接，在直三棱柱中，.

∵為中點，為中點，∴，

∴四邊形為平行四邊形，∴.∵平面，平面，

∴平面.

法二：取中點，連結，在直三棱柱中，.

∵為中點，為中點，∴，

∴四邊形為平行四邊形，∴.

又平面，平面，∴平面.

∵分別為中點，∴.

又平面，平面，∴平面.

平面平面.平面平面.

（2）法一：直三棱柱中，平面，∴.

又∵，且，∴平面.

過作于.∵平面，∴.

又平面.

又即為與平面所成的角.

.

法二：（等積法）與平面所成的角相等.

連結，直三棱柱中，平面，∴.

又平面.

，.

設到平面的距離為，.

∵，即.

設與平面所成的角為，.