Question

設點是曲線上的動點，點到點（0，1）的距離和它到焦點的距離之和的最小值為.

（1）求曲線C的方程；

（2）若點的橫坐標為1，過作斜率為的直線交于點，交軸于點，過點且與垂直的直線與交于另一點，問是否存在實數，使得直線與曲線相切？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）存在實數使命題成立.

【解析】（1）利用拋物線的定義即可求出參數p，進一步求出拋物線的標準方程；（2）設出直線直線方程，然后和拋物線方程聯立，再利用韋達定理和斜率關系列出關于斜率的等式，進一步求出斜率

解：（Ⅰ）依題意知，解得.

所以曲線的方程為. ……………………………4分

（Ⅱ）由題意直線的方程為：，則點

聯立方程組，消去得

得.…………………………………………………6分

所以得直線的方程為.

代入曲線，得.

解得.………………………………………………8分

所以直線的斜率……………10分

過點的切線的斜率.由題意有.

解得.故存在實數使命題成立.…………………12分