Question

設點是曲線上的動點，點到點（0，1）的距離和它到焦點的距離之和的最小值為.

（1）求曲線C的方程；

（2）若點的橫坐標為1，過作斜率為的直線交于點，交軸于點，過點且與垂直的直線與交于另一點，問是否存在實數，使得直線與曲線相切？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）.

【解析】第一問中國，利用依題意知，解得，所以曲線的方程為

第二問中，設直線的方程為：，則點聯立方程組，消去得

得.所以得直線的方程為.

代入曲線，.解得

解：（Ⅰ）依題意知，解得.

所以曲線的方程為. ……………………………………………………………………4分

（Ⅱ）由題意直線的方程為：，則點

聯立方程組，消去得所以直線的斜率，從而得到結論。

得.………………………………………………………………………………6分

所以得直線的方程為.

代入曲線，得.

解得.…………………………………………………………………8分

所以直線的斜率…………………………10分

過點的切線的斜率.

由題意有.

解得.

故存在實數使命題成立.……………………………………………………………12分