Question

【題目】已知點，過點作與軸平行的直線，點為動點在直線上的投影，且滿足.

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）已知點為曲線上的一點，且曲線在點處的切線為，若與直線相交于點，試探究在軸上是否存在點，使得以為直徑的圓恒過點？若存在，求出點的坐標，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1);(2)見解析.

【解析】

試題分析：（1）設，由題得，則，，由化簡即可得動點的軌跡的方程；（2）設點，，根據導數的幾何意義，結合直線的點斜式方程可得直線的方程為，從而得點的坐標為，由恒成立得解得，進而可得結果.

試題解析：(1)設，由題得

又，

∴，

，

由，

得，即，

∴軌跡的方程為.

（2）設點，，

由，得，

∴，

∴直線的方程為

令，可得，

∴點的坐標為，

∴

，（*）

要使方程（*）對恒成立，則必有解得.

即在軸上存在點，使得以為直徑的圓恒過點，其坐標為.