Question

①“若x+y=0，則x，y互為相反數”的逆命題是“若x，y互為相反數，則x+y=0”．
②在平面內，F₁、F₂是定點，|F₁F₂|=6，動點M滿足||MF₁|-|MF₂||=4，則點M的軌跡是雙曲線．
③“在△ABC中，“∠B=60°”是“∠A，∠B，∠C三個角成等差數列”的充要條件．
④“若-3＜m＜5則方程

x2

5-m

+

y2

m+3

=1是橢圓”．
⑤在四面體OABC中，

OA

=

a

，

OB

=

b

，

OC

=

c

，D為BC的中點，E為AD的中點，則

OE

=

1

2

a

+

1

4

b

+

1

4

c

⑥橢圓

x2

25

+

y2

9

=1上一點P到一個焦點的距離為5，則P到另一個焦點的距離為5．
其中真命題的序號是：

①②③⑤⑥

．

Answer 1

分析：利用互為逆命題的概念可判斷①，利用雙曲線的定義可判斷②，利用等差數列的概念可判斷③，利用橢圓的概念與性質可判斷④與⑥，利用向量的運算性質可判斷⑤，即可得到答案．

解答：解：對于①“若x+y=0，則x，y互為相反數”的逆命題是“若x，y互為相反數，則x+y=0”，正確；
對于②，動點M滿足||MF₁|-|MF₂||=4＜6=|F₁F₂|，符合雙曲線的定義，故②正確；
對于③，在△ABC中，“∠B=60°”是“∠A，∠B，∠C三個角成等差數列”的充要條件，正確；
對于④，“若-3＜m＜5則方程

x2

5-m

+

y2

m+3

=1是橢圓”錯誤，當m=1時，是圓；
對于⑤，由于D為BC的中點，

OD

=

1

2

（

OB

+

OC

）=

1

2

（

b

+

c

），E為AD的中點，

OE

=

1

2

（

OA

+

OD

）=

1

2

（

a

+

1

2

（

b

+

c

））=

1

2

a

+

1

4

b

+

1

4

c

，故⑤正確；
對于⑥，由橢圓的方程與定義可知，2a=10，P到一個焦點的距離為5，則P到另一個焦點的距離為2a-5=10-5=5，正確．
故真命題的序號是①②③⑤⑥．

點評：本題考查雙曲線的定義，橢圓的定義及其性質，考查必要條件、充分條件與充要條件的判斷，掌握圓錐曲線的概念與性質及向量的運算性質是關鍵，屬于中檔題．