Question

在三角形ABC中，O是外心，I是內心，若∠BOC=∠BIC，則∠A=

 

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Answer 1

考點：圓內接多邊形的性質與判定

專題：直線與圓

分析：首先根據O為△ABC的外心，即⊙O為△ABC的外接圓，利用圓周角定理可得∠BOC=2∠BAC；然后根據三角形的內切圓，得到∠ABC=2∠IBC，∠ACB=2∠ICB，根據三角形的內角和定理表示出∠IBC+∠ICB，進而求出∠A的度數即可．

解答：解：根據題意，0為△ABC的外心，
利用圓周角定理可得∠BOC=2∠A；
∵點I是△ABC的內心，
∴∠ABC=2∠IBC，∠ACB=2∠ICB，
∴∠IBC+∠ICB=180°-∠BIC=180°-∠BOC=180°-2∠A，
又∵∠IBC+∠ICB=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=

1

2

(180°-∠A)=90°-

1

2

∠A，
∴180°-2∠A=90°-

1

2

∠A，
解得∠A=60°．
故答案為：60°．

點評：本題主要考查了圓周角定理在三角形的外接圓中的應用，考查了三角形的內心的性質，屬于中檔題，解答此題的關鍵是正確區分三角形的內外心．