Question

（本小題滿分13分）

已知函數.

（Ⅰ）試確定的取值范圍,使得函數在上為單調函數；

（Ⅱ）當時，判斷和的大小，并說明理由；

（Ⅲ）求證：當時，關于的方程：在區間上總有兩個不同的解.

Answer 1

（本小題滿分13分）

解：（Ⅰ）因為      -----1分

由；由

所以在 上遞增,在上遞減       ---------------3分

要使在上為單調函數,則           ---------------4分

（Ⅱ）在上遞增,在上遞減，

∴在處有極小值                           --------------5分

  又，∴ 在上的最小值為--------7分

      從而當時,，                       --------------8分

（Ⅲ）證：∵，

       又∵      ∴       --------------9分

         令,從而問題轉化為證明當時，

方程=0在上有兩個解    --------------10分

        ∵，

，

  當時,,但由于,-------------12分

所以在上有解,且有兩解。                     ------------13分