Question

（09年東城區二模理）（13分）

如圖,為雙曲線的右焦點,

為雙曲線右支上一點,且位于軸上方,為左準線上一點,為坐標原點.已知四邊形為菱形.

（Ⅰ）求雙曲線的離心率；

（Ⅱ）若經過焦點且平行于的直線交雙曲線于兩點,且,求此時的雙曲線方程. 

Answer 1

解析: (Ⅰ)由于四邊形是菱形,故,

作雙曲線的右準線交于點,

則.        …………3分

所以離心率

;

整理得.解得或(舍)．

故所求雙曲線的離心率為2 ．             …………5分

(Ⅱ) 由得,雙曲線方程為.             　　　　　　

設的橫坐標為,由于四邊形是菱形,即,

得.將其代入雙曲線方程得,解得.

即.               ………………7分

.故直線的方程為.     …………8分

將直線的方程代入到雙曲線方程中得.             …………10分

由得,

解得.則.

      所求雙曲線方程為.                 ……………13分