Question

已知數列的前n項和（n為正整數）。
（1）令，求證數列是等差數列，
（2）求數列的通項公式；
（3）令，。是否存在最小的正整數，使得對于都有恒成立，若存在，求出的值。不存在，請說明理由。

Answer 1

（1）見解析；（2）；（3）4.

（2）中，利用，對n令值，借助于通項公式與前n項和關系式求解通項公式，令n=1，可得，即；當時，，得到結論（1）中
得證數列是等差數列，（3）中，利用錯位相減法可得。
解：
（1）在中，令n=1，可得，即
當時，，
.
.               
又數列是首項和公差均為1的等差數列.   --------5分
（2） 于是.          --------8分
(II)由（I）得，所以


由①-②得                 
           -------12分
  
故的最小值是4                                 ------14分