Question

【題目】如圖所示，三棱錐中，平面平面，平面平面，分別是和邊上的點，且，，，，，，為的中點.

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)見證明；(2)

【解析】

（1）在中，根據余弦定理，可得，所以，即是直角三角形，又為的中點，所以為等邊三角形，根據線面平行的判定定理即可證明。

（2）以點為原點，以，，所在直線分別為軸，軸，軸建系，求出，平面

法向量的坐標，計算與法向量的夾角，可得所求。

（1）平面平面，平面平面，平面平面

則平面，

又，則

因為，，，

所以，，

在中，，，

由余弦定理可得：

解得：

所以，所以是直角三角形，

又為的中點，所以

又，所以為等邊三角形，

所以，所以，

又平面，平面，

所以平面.

（2）由（1）可知，以點為原點，以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則，，，.

所以，，.

設為平面的法向量，則，即

設，則，，即平面的一個法向量為，

所以，

所以直線與平面所成角的正弦值為.