Question

【題目】已知橢圓：的離心率為，橢圓：經過點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設點是橢圓上的任意一點，射線與橢圓交于點，過點的直線與橢圓有且只有一個公共點，直線與橢圓交于，兩個相異點，證明：面積為定值.

Answer 1

【答案】（1）； （2）見解析.

【解析】

（1）根據橢圓的離心率和把過的點代入橢圓方程，根據得到的式子求出.

（2）當直線斜率不存在時，易得的面積，當直線斜率存在時，設為，與橢圓相切，得到和的關系，再由直線和橢圓聯立方程組，得到、，

利用弦長公式表示出，再得到和的關系，由到的距離，得到到的距離，從而計算出的面積.得到結論為定值.

（1）解：因為的離心率為，

所以，

解得.①

將點代入，整理得.②

聯立①②，得，，

故橢圓的標準方程為.

（2）證明：①當直線的斜率不存在時，

點為或，由對稱性不妨取，

由（1）知橢圓的方程為，所以有.

將代入橢圓的方程得，

所以 .

②當直線的斜率存在時，設其方程為，

將代入橢圓的方程

得，

由題意得，

整理得.

將代入橢圓的方程，

得.

設，，

則，，

所以 .

設，，，則可得，.

因為，所以，

解得（舍去），

所以，從而.

又因為點到直線的距離為，

所以點到直線的距離為，

所以 ，

綜上，的面積為定值.