Question

【題目】已知拋物線與軸交于點,直線與拋物線交于點，兩點．直線,分別交橢圓于點、（,與不重合）

(1)求證：；

(2)若,求直線的斜率的值；

(3)若為坐標原點,直線交橢圓于，，若,且,則是否為定值？若是,求出定值；若不是,請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)是定值,為定值10.

【解析】

(1) 直線和拋物線方程聯立,根據根與系數關系、斜率公式可以計算出,也就證明出；

(2)設出直線的斜率,直線的斜率,求出它們的直線方程,通過解一元二次方程組求出,的坐標,最后利用面積公式求出的表達式,同理求出的表達式,最后求出直線的斜率的值；

(3) 設,,根據余弦定理和,可以得到又,.通過對兩個等式進行移項相乘和兩個等式相加,最后可以求出的值為定值.

解：(1)由題意知,直線的方程為．

由得,

設，，則，是上述方程的兩個實根，

于是,．

又點的坐標為，

所以

故,即．

(2)設直線的斜率為，則直線的方程為，

由，解得，或，則點的坐標為．

又直線的斜率為，同理可得點的坐標為．

于是，．

由得,

解得或，則點的坐標為．

又直線的斜率為,同理可得點的坐標．

于是,．

因此，．

由題意知,解得或．

又由點,的坐標可知,,所以．

(3)設,,四邊形為平行四邊形，

由余弦定理有,

,

兩式相加得．

又．

又,，

上面兩式移項相乘得,

上面兩式相加得．

所以．

因此為定值10．