Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，S_n=na_n-2n（n-1）．
（1）證明數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；  
（2）求數(shù)列{

1

anan+1

}的前n項的和T_n；
（3）求T_n的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)題意和a_n+1=S_n+1-S_n可得，a_n+1=（n+1）a_n+1-na_n-4n，化簡可得a_n+1-a_n=4，由等差數(shù)列的定義即可得結(jié)論；
（2）由（1）可得a_n=4n-3，代入

1

anan+1

化簡，由裂項相消法求出前n項的和T_n；
（3）根據(jù)（2）的表達(dá)式判斷出T_n的單調(diào)性，再求出T_n的范圍．

解答： 證明：（1）由S_n=na_n-2n（n-1），
則S_n+1=na_n+1-2（n+1）n，
又由a_n+1=S_n+1-S_n可得a_n+1=S_n+1-S_n=（n+1）a_n+1-na_n-4n，
即a_n+1-a_n=4，
則數(shù)列{a_n}是以1為首項，4為公差的等差數(shù)列；
解：（2）由（1）可得，a_n=4n-3，
則

1

anan+1

=

1

(4n-3)(4n+1)

=

1

4

（

1

4n-3

-

1

4n+1

），
所以T_n=

1

4

[（1-

1

5

）+（

1

5

-

1

9

）+（

1

9

-

1

13

）+…+（

1

4n-3

-

1

4n+1

）]
=

1

4

（1-

1

4n+1

）；
（3）由（2）得，T_n=

1

4

（1-

1

4n+1

），且n取正整數(shù)，
所以T_n隨著n的增大而增大，且T_n＜

1

4

，
當(dāng)n=1時，T_n取到最小值是

1

5

，
故T_n的取值范圍是[

1

5

，

1

4

）．

點評：本題考查等差數(shù)列的定義、通項公式，a_n+1=S_n+1-S_n的關(guān)系，裂項相消法求數(shù)列的前n項和，以及利用數(shù)列函數(shù)特性求出前n項和的取值范圍，是常考的題型．