Question

【題目】在直角坐標系中，圓與軸正、負半軸分別交于點.橢圓以為短軸，且離心率為.

（1）求的方程；

（2）過點的直線分別與圓，曲線交于點（異于點）.直線分別與軸交于點.若，求的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）設橢圓方程為，求得的坐標，結合離心率公式和的關系，可得，進而得到橢圓方程；
（2）設直線，聯立橢圓方程求得的坐標，由兩直線垂直的條件，可得直線的方程，求得的坐標，再由，可得，運用兩點的斜率公式，解方程可得，進而得到所求直線的方程．

解：（1）設橢圓方程為，

圓與軸正、負半軸分別交于點，，

由題意可得，，，

解得，則橢圓方程為；

（2），，設直線，

設，可得，，

由題意可得，，

則直線的方程為，可得，

若，可得，

即為，解得，

存在直線，使得.