Question

【題目】已知橢圓和雙曲線有共同焦點(diǎn) , 是它們的一個(gè)交點(diǎn)，且 ，記橢圓和雙曲線的離心率分別為 ，則 的最大值為（ ）
A.
B.
C.2
D.3

Answer 1

【答案】A
【解析】考查一般性結(jié)論，當(dāng) 時(shí)：
設(shè) ，橢圓的長半軸長為 ，雙曲線的長半軸長為 ，兩曲線的焦距為 ，結(jié)合題意有： ，
兩式平方相加可得： ，
兩式平方作差可得： ，
由余弦定理有： ，
則： ， ，
即 ，結(jié)合二倍角公式有： .
本題中， ，則有： ，即 ，
則 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立，
據(jù)此可得 的最大值為 .
故答案為：A.
本題考查了橢圓與雙曲線的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、余弦定理、基本不等式的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)所得出的條件靈活變形，求出焦點(diǎn)三角形的邊長來．