【題目】如圖所示，
和
所在平面互相垂直，且
分別為
的中點．
（1）求證:
；
（2）求二面角
的正弦值．
【答案】（1）證明見解析；（2）
．
【解析】
試題分析：（1）以
為坐標原點，在平面
內過作垂直
的直線，并將其作為
軸，所在直線為
軸，在平面
內過作垂直的直線，并將其作為
軸，建立如圖所示空間直角坐標系，利用向量的運算，即可證得
；（2）求得平面
的一個法向量為
，設平面
的法向量
，利用法向量所成的角，即可求解二面角的大小．
試題解析：（1）證明：由題意，以為坐標原點，在平面內過作垂直的直線，并將其作為軸，所在直線為軸，在平面內過作垂直的直線，并將其作為軸，建立如圖所示空間直角坐標系，易得
，因而
，
因此
，從而
．
（2）在圖中，平面的一個法向量為，設平面的法向量，
又
，得其中一個
，
設二面角
的大小為
，且由題知為銳角，
則
，因此
，
即所求二面角正弦值為．
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知動圓
與圓
相切，且與圓
相內切，記圓心
的軌跡為曲線
；設
為曲線
上的一個不在
軸上的動點，
為坐標原點，過點
作
的平行線交曲線
于
兩個不同的點．
（1）求曲線
的方程；
（2）試探究
和
的比值能否為一個常數？若能，求出這個常數，若不能，請說明理由；
（3）記
的面積為
，
的面積為
，令
，求
的最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，四棱錐
中，
平面
，四邊形
是直角梯形，其中
，
.
，
.
（1）求異面直線
與
所成角的大小；
（2）若平面內有一經過點
的曲線
，該曲線上的任一動點
都滿足
與
所成角的大小恰等于與所成角.試判斷曲線的形狀并說明理由；
（3）在平面內，設點是（2）題中的曲線在直角梯形內部（包括邊界）的一段曲線
上的動點，其中
為曲線和
的交點.以
為圓心，
為半徑
的圓分別與梯形的邊
、
交于
、
兩點.當點在曲線段
上運動時，試求圓半徑的范圍及
的范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】橢圓
與
軸，
軸的正半軸分別交于
兩點，原點
到直線
的距離為
，該橢圓的離心率為
.
（1）求橢圓的方程；
（2）過點
的直線
與橢圓交于兩個不同的點
，求線段
的垂直平分線在
軸上截距的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
的焦點為
為
上異于原點的任意一點，過點
的直線
交于另一點
，交
軸的正半軸于點
，且有
．當點橫坐標為
時，
為正三角形．
（1）求的方程；
（2）若直線
，且
和 有且只有一個公共點
．
①證明直線
過定點，并求出定點坐標；
②
的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖1，在四棱錐
中，底面
是正方形，
．
（1）如圖2，設點
為
的中點，點
為
的中點，求證:
平面
；
（2）已知網格紙上小正方形的邊長為
，請你在網格紙上用粗線畫圖1中四棱錐的府視圖（不需要標字母），并說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某城市要建成宜商、宜居的國際化新城，該城市的東城區、西城區分別引進8個廠家，現對兩個區域的16個廠家進行評估，綜合得分情況如莖葉圖所示.
（1）根據莖葉圖判斷哪個區域廠家的平均分較高；
（2）規定85分以上（含85分）為優秀廠家，若從該兩個區域各選一個優秀廠家，求得分差距不超過5分的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】記
表示
，
中的最大值，如
．已知函數
，
．
（1）設
，求函數
在
上零點的個數；
（2）試探討是否存在實數
，使得
對
恒成立？若存在，求
的取值范圍；若不存在，說明理由．
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