Question

【題目】如圖，正三棱柱（底面為正三角形，側棱和底面垂直）的所有棱長都為2，為的中點，O為中點.

（1）求證：平面.

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

(1)推導出,,,由此能證明平面.

(2)設中點為,取O為原點,分別取,,為x,y,z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出平面與平面所成銳二面角的余弦值.

證明：（1）∵是正三角形,O為中點,∴,

∵在正三棱錐中,平面平面,

平面平面,

∴平面,∴,

∵正方形中,,

∴,

∴,

∵,∴平面.

解：（2）設中點為,

由（1）知可取O為原點,分別取,,為x,y,z軸,建立空間直角坐標系,

則,,,,,

,,,

∵平面.∴是平面的一個法向量,

設平面的法向量,

則,取,得,

設平面與平面所成銳二面角為,

則,

∴平面與平面所成銳二面角的余弦值為.