Question

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若關(guān)于的不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若函數(shù)有個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是，（2）（3）

【解析】

（1）化簡(jiǎn)得到，分別計(jì)算單調(diào)性得到答案.

（2）化簡(jiǎn)得到恒成立，計(jì)算函數(shù)的最大值得到答案.

（3）化簡(jiǎn)得到，確定在和上都各有個(gè)不同的零點(diǎn)，計(jì)算得到答案.

（1）當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減.

當(dāng)時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞增.

因?yàn)楹瘮?shù)的圖象在上不間斷，

所以的單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是.

（2）對(duì)任意恒成立.

因?yàn)?/span>，，所以，

故不等式可化為，即，

所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式對(duì)任意恒成立.

又在上單調(diào)遞減，

所以，

所以.

（3），其中.

顯然，當(dāng)時(shí)，至多有個(gè)不同的零點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，

至多有個(gè)不同的零點(diǎn)，

又有個(gè)不同的零點(diǎn)，

所以在和上都各有個(gè)不同的零點(diǎn)，

所以且即

又，解得，

所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.