Question

已知函數f(x)=lg

kx-1

x-1

．（k∈R且k＞0）．
（1）求函數f（x）的定義域；
（2）若函數f（x）在[10，+∞）上單調遞增，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據真數大于零列出不等式，由k＞0分三種情況分別求出函數的定義域，并用集合或區間表示；
（2）用分離常數法對真數對應的函數進行化簡，由題意和復合函數的單調性，確定k的范圍，注意單調區間一定是函數定義域的子集．

解答：解：（1）由題意得，

kx-1

x-1

＞0，即（x-1）（kx-1）＞0，
∵k＞0，∴應分三種情況求解：
當0＜k＜1時，定義域為(-∞，1)∪(

1

k

，+∞)，
當k=1時，定義域為（-∞，1）∪（1，+∞）
當k＞1時，定義域為(-∞，

1

k

)∪(1，+∞)；
（2）令y=

kx-1

x-1

=k+

k-1

x-1

，
∵函數y=lgx在定義域上單調遞增，且f（x）在[10，+∞）上單調遞增，
∴函數y=

kx-1

x-1

在[10，+∞）上單調遞增，∴k-1＜0，解得k＜1，
∵當0＜k＜1時，函數的定義域是(-∞，1)∪(

1

k

，+∞)，
∴

1

k

＜10，即k＞

1

10

，
∴k∈(

1

10

，1)．

點評：本題的考點是對數函數的性質的應用，利用對數的真數大于零，復合函數的單調性“同增異減”法則，還有單調區間與定義域的關系，這是易錯的地方考查了，主要用了分類討論思想．