Question

在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知（b+c）：（c+a）：（a+b）=4：5：6，則下列結論正確的是

（1）（3）

（1）△ABC一定是鈍角三角形；    
（2）△ABC被唯一確定；
（3）sinA：sinB：sinC=7：5：3；     
（4）若b+c=8，則△ABC的面積為

15 3

2

．

Answer 1

分析：設b+c=4k，a+c=5k，a+b=6k，求得 a、b、c 的值，再利用余弦定理求得cosA 的值，可得A=120°，再求得△ABC的面積為

1

2

bc•sinA 的值，從而得出結論．

解答：解：在△ABC中，由于（b+c）：（c+a）：（a+b）=4：5：6，
可設b+c=4k，a+c=5k，a+b=6k，求得 a=

7k

2

，b=

5k

2

，c=

3k

2

．
求得cosA=

b2+c2-a2

2bc

=-

1

2

＜0，故A=120°為鈍角，故（1）正確．
由以上可得，三角形三邊之比a：b：c=7：5：3，
故這樣的三角形有無數多個，故（2）不正確，（3）正確．
若b+c=8，則b=5、c=3，由正弦定理可得
△ABC的面積為

1

2

bc•sinA=

1

2

×5×3×sin120°=

15 3

4

，故（4）不正確．
故答案為（1）、（3）．

點評：本題主要考查正弦定理、余弦定理的應用，根據三角函數的值求角，屬于中檔題．