Question

（本小題滿分13分）

已知數(shù)列滿足，數(shù)列滿足，數(shù)列

滿足．

（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ），，試比較與的大小，并證明；

（Ⅲ）我們知道數(shù)列如果是等差數(shù)列，則公差是一個常數(shù)，顯然在本題的數(shù)列中，不是一個常數(shù)，但是否會小于等于一個常數(shù)呢，若會，請求出的范圍，若不會，請說明理由．

 

 

 

Answer 1

【答案】

解：（1）依題意得：，所以是等差數(shù)列，首項(xiàng)，公差，

所以，從而；                        ……………………………3分

（2）由（1）得，構(gòu)造函數(shù) 則

當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，

所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號， ………5分

所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，

所以

當(dāng)且僅當(dāng)時取等號；                        …………………………………8分

（3）由（1）知，不妨設(shè)恒成立，且，

則，等價于，      ………………10分

記，則在上單調(diào)遞減，

所以恒成立；

所以     ……………………………12分

記，，所以，

所以在上單調(diào)遞增，所以

所以為所求范圍．               ……………………14分

 

【解析】