Question

【題目】已知三棱柱中，、分別是與的中點，為等邊三角形，，.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）（i）求證：平面；

（ii）求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）（i）見解析（ii）

【解析】

（Ⅰ）由推出平面，由推出平面，則平面平面，由平面PMN即可得證；（Ⅱ）（i）勾股定理證明、，即可推出平面；（ii）建立空間直角坐標系，求出平面AMN，平面BMN的法向量代入即可求得兩向量夾角的余弦值，再求出正弦值即可.

（Ⅰ）取中點，連接MP，則，

因為平面ABC，平面ABC，所以平面，

因為N、P分別的中點，所以，又，所以，

因為平面ABC，平面ABC，故平面，

因為，平面PMN，平面PMN，

于是平面平面，

又平面PMN，所以平面.

（Ⅱ）（i）不妨設，則.

依題意，故為等腰底邊上的中線，則.

于是，

因為，所以，同理，則，

又，平面，平面，

所以平面.

（ii）方法一：因為平面，平面，所以，

因為為等邊三角形且為的中點，所以，

又,平面，平面，

所以平面，因為平面AMN，故平面平面.

設，則為平面與平面的交線.過作于點，則平面.又過作于點，則平面，即為二面角的平面角.

在中，，，則；

在中，.

所以，即二面角的正弦值是.

方法二：以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.則，，，，，，.

設平面的法向量，平面的法向量.

由，可取；

由，可取.

于是，

所以二面角的正弦值是.