Question

【題目】在數列中， ,且 (）．

（1）寫出此數列的前5項； （2）歸納猜想的通項公式，并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）利用數列{an}前n項的算術平均數等于第n項的2n-1倍，推出關系式，通過n=2，3，4，5求出此數列的前5項；
（2）通過（1）歸納出數列{an}的通項公式，然后用數學歸納法證明．第一步驗證n=1成立；第二步，假設n=k猜想成立，然后證明n=k+1時猜想也成立．

試題解析：

（1）由已知分別取，得， ，

， ，

所以數列的前5項是： ， ．

（2）由（1）中的分析可以猜想．

下面用數學歸納法證明：①當時，公式顯然成立．

②假設當時成立，即，那么由已知，

得，即，

所以， 即，

又由歸納假設，得，

所以，即當時，公式也成立．

由①和②知，對一切，都有成立．