Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若曲線在處切線的斜率為，求此切線方程；

（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍，并證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）在處切線的斜率為，即，得出，計(jì)算f(e)，即可出結(jié)論

（2）①有兩個(gè)極值點(diǎn)得=0有兩個(gè)不同的根，即

有兩個(gè)不同的根，令，利用導(dǎo)數(shù)求其范圍，則實(shí)數(shù)a的范圍可求；

有兩個(gè)極值點(diǎn)，利用在(e,+∞)遞減，，，，即可證明

（1）∵，∴，解得，

∴，故切點(diǎn)為，

所以曲線在處的切線方程為．

（2），令=0，得．

令，則，

且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；時(shí)，．

令，得，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

故在遞增，在遞減，所以．

所以當(dāng)時(shí)，有一個(gè)極值點(diǎn)； 時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，沒有極值點(diǎn)．綜上，的取值范圍是．

（方法不同，酌情給分）

因?yàn)?/span>是的兩個(gè)極值點(diǎn)，所以即…①

不妨設(shè)，則，，

因?yàn)?/span>在遞減，且，所以，即…②．

由①可得，即，

由①，②得，所以．