Question

如圖，AC 是圓 O 的直徑，點 B 在圓 O 上，∠BAC＝30°，BM⊥AC交 AC 于點 M，EA⊥平面ABC，FC//EA，AC＝4，EA＝3，FC＝1．

（I）證明：EM⊥BF；
（II）求平面 BEF 與平面ABC 所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.

試題分析：（Ⅰ）先以點為坐標原點建立空間直角坐標系，并以此確定、、、四點的坐標，通過驗證來達到證明的目的；（Ⅱ）求出平面與平面各自的法向量，利用空間向量法求出平面與平面所成銳二面角的余弦值.
試題解析：（1），．
如圖，以為坐標原點，垂直于、、所在的直線為軸建立空間直角坐標系．由已知條件得，，，，，

．
由，
得， ．  
（2）由（1）知，．
設平面的法向量為，
由，得，
令得，，，
由已知平面，所以取面的法向量為，
設平面與平面所成的銳二面角為，
則，
平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．