Question

【題目】如果y=f（x）的定義域為R，對于定義域內的任意x，存在實數a使得f（x+a）=f（﹣x）成立，則稱此函數具有“P（a）性質”．給出下列命題：

①函數y=sinx具有“P（a）性質”；

②若奇函數y=f（x）具有“P（2）性質”，且f（1）=1，則f（2015）=1；

③若函數y=f（x）具有“P（4）性質”，圖象關于點（1，0）成中心對稱，且在（﹣1，0）上單調遞減，則y=f（x）在（﹣2，﹣1）上單調遞減，在（1，2）上單調遞增；

④若不恒為零的函數y=f（x）同時具有“P（0）性質”和“P（3）性質”，函數y=f（x）是周期函數．

其中正確的是 （寫出所有正確命題的編號）．

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

試題分析：①∵，∴函數具有“性質”；∴①正確；②∵若奇函數具有“性質”，∴，∴，周期為，∵，，∴②不正確；③∵若函數具有“性質”，∴，∴關于對稱，即，∵圖象關于點成中心對稱，∴，即，∴，為偶函數，∵圖象關于點成中心對稱，且在上單調遞減，∴圖象也關于點成中心對稱，且在上單調遞減，由偶函數的對稱得出：在上單調遞增；故③正確；④∵“性質”和“性質”，∴，，∴為偶函數，且周期為，故④正確．