Question

【題目】在平面直角坐標系xoy中，動點M到點F（1，0）的距離與它到直線x=2的距離之比為 ． （Ⅰ）求動點M的軌跡E的方程；
（Ⅱ）設直線y=kx+m（m≠0）與曲線E交于A，B兩點，與x軸、y軸分別交于C，D兩點（且C，D在A，B之間或同時在A，B之外）．問：是否存在定值k，對于滿足條件的任意實數m，都有△OAC的面積與△OBD的面積相等，若存在，求k的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設M（x，y），由題意可得 = ， 兩邊平方可得x2+y2﹣2x+1= （x2﹣4x+4），
即有 +y2=1，
可得軌跡E的方程為 +y2=1；
（Ⅱ）聯立 ，消去y，可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，
△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）=8（2k2﹣m2+1），
由△＞0，可得m2＜1+2k2（*），
設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），則x1+x2=﹣ ，
由題意可設C（﹣ ，0），D（0，m），
△OAC的面積與△OBD的面積相等|AC|=|BD|恒成立
線段AB的中點和線段CD中點重合．
即有﹣ =﹣ ，解得k=± ，
即存在定值k=± ，對于滿足條件的m≠0，且|m|＜
的任意實數m，都有△OAC的面積與△OBD的面積相等
【解析】（Ⅰ）設M（x，y），運用兩點的距離公式和點到直線的距離公式，兩邊平方整理即可得到所求軌跡E的方程；（Ⅱ）聯立直線方程和橢圓方程，消去y，可得x的方程，運用判別式大于0，以及韋達定理，求得C，D的坐標，由△OAC的面積與△OBD的面積相等|AC|=|BD|恒成立線段AB的中點和線段CD中點重合．運用中點坐標公式，解方程可得k的值，即可判斷存在．