Question

已知4個命題：
①若等差數列{a_n}的前n項和為S_n則三點（10，），（100，），（110，），共線；
②命題：“?x∈R，x²+1＞3x”的否定是“?x∈R，x²+1≤3x”；
③若函數f（x）=x-+k在（0，1）沒有零點，則k的取值范圍是k≥2，
④f（x）是定義在R上的奇函數，f′（x）＞0，且f（2）=，則xf（x）＜1的解集為（-2，2）．
其中正確的是________．

Answer 1

解：①=，=，=，設等差數列的公差為d，
∴==，==，
即 前兩個點連線的斜率等于后兩個點連線的斜率，故三點共線，故①正確．
②根據命題的否定的定義，“?x∈R，x²+1＞3x”的否定是“?x∈R，x²+1≤3x”；是正確的，故②正確．
③函數f（x）=x-+k在（0，1）沒有零點，故f′（x）=1+＞0，所以函數在（0，1）內是增函數，x-＜0，當k≥2時，函數有零點，③不正確．
④f（x）是定義在R上的奇函數，f′（x）＞0，且f（2）=，所以x＞0時，函數是恒為正值，f（0）=0，x＜0時函數為負值，2f（2）=1，則xf（x）＜1的解集為（-2，2）．正確．
故答案為：①②④．
分析：利用三點連線的斜率關系判定①的正誤；
直接寫出命題的否命題即可判定②的正誤；
利用函數的單調性，零點存在定理判定③的正誤；
通過函數的導數，以及函數的性質，求出不等式的解集，判定④的正誤，即可得到結論．
點評：本題是綜合題，考查三點共線，命題的否定，零點，導數與不等式的知識，考查知識的靈活運應，是中檔題．