Question

已知點A（1，0），B（0，1），C（2sinθ，cosθ）．
（1）若|

AC

|=|

BC

|，求tanθ的值；
（2）若(

OA

+2

OB

)•

OC

=1，其中O為坐標原點，求sin2θ的值

Answer 1

分析：（1）表示出

AC

和

BC

向量，然后根據|

AC

|=|

BC

|，可求得tanθ的值．
（2）表示出

OA

+2

OB

  和  

OC

，然后計算數量積，再求sin2θ的值．

解答：解：（1）∵A（1，0），B（0，1），C（2sinθ，cosθ）
∴

AC

=(2sinθ-1，cosθ)，

BC

=(2sinθ，cosθ-1)
∵|

AC

|=|

BC

|∴

(2sinθ-1)2+cos2θ

=

4sin2θ+(cosθ-1)2

∴2sinθ=cosθ∵cosθ≠0∴tanθ=

1

2

（6分）
（2）∵

OA

=(1，0)，

OB

=(0，1)，

OC

=(2sinθ，cosθ)
∴

OA

+2

OB

=(1，2)∵(

OA

+2

OB

)•

OC

=1
∴2sinθ+2cosθ=1∴sinθ+cosθ=

1

2

∴(sinθ+cosθ)2=

1

4

∴sin2θ=-

3

4

（12分）

點評：本題考查平面向量的數量積，向量的模，同角三角函數的基本關系式，是中檔題．