Question

【題目】己知函數在處的切線方程為，函數.

（1）求函數的解析式；

（2）求函數的極值；

（3）設（表示，中的最小值），若在上恰有三個零點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）極小值，無極大值．（3）

【解析】

（1）先求得函數導數，利用切點坐標和函數在時切線的斜率也即導數列方程組，解方程組求得的值，進而求得函數的解析式.（2）先求得的定義域和導函數，對分成兩種情況，通過函數的單調性討論函數的極值.（3）先根據（1）判斷出有且僅有一個零點，故需在上有僅兩個不等于1的零點.根據（2）判斷出當時，沒有三個零點；當時，通過零點存在性定理以及利用導數的工具作用，證得分別在，分別有個零點，符合題意.由此求得實數的取值范圍.

解：（1）

因為在處的切線方程為

所以，

解得

所以

（2）的定義域為，

①若時，則在上恒成立，

所以在上單調遞增，無極值

②若時，則當時，，在上單調遞減；

當時，，在上單調遞增；

所以當時，有極小值，無極大值．

（3）因為僅有一個零點1，且恒成立，

所以在上有僅兩個不等于1的零點．

①當時，由（2）知，在上單調遞增，

在上至多一個零點，不合題意，舍去

②當時，，在無零點

③當時，，當且僅當等號成立，在僅一個零點

④當時，，，所以，

又圖象不間斷，在上單調遞減

故存在，使

又

下面證明，當時，

，在上單調遞增

所以，

又圖象在上不間斷，在上單調遞增，

故存在，使

綜上可知，滿足題意的的范圍是