Question

【題目】已知函數 在點處的切線與直線平行，且函數有兩個零點.

（1）求實數的值和實數的取值范圍；

（2）記函數的兩個零點為，求證： （其中為自然對數的底數）.

Answer 1

【答案】（1）， 且（2）見解析

【解析】試題分析：（1）由切線求出，再由求導得到在單調遞減，在單調遞增， ，則且；（2）設，欲證，即證，只須證，記函數，通過求導分析得．

試題解析：

解：（1）由， 得：

由

進而得，

故當時， ；當時， ；

所以函數在單調遞減，在單調遞增，

要使函數在有兩個零點，則

且

（用分離參數，轉化為數形結合，可對應給分）

（2）由（1），我們不妨設

欲證，即證

又函數在單調遞增，即證

由題設，從而只須證

記函數，

則，

記，得

因為，所以恒成立，即在上單調遞增，又

所以在上恒成立，即在單調遞減

所以當時， ，即

從而得．

上恒成立，即在單調調遞

所以當時， ，即

從而得．