Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），c=

a2-b2

，圓（x-c）²+y²=c²與橢圓恰有兩個公共點，則橢圓的離心率e的取值范圍是______．

Answer 1

∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1中，c=

a2-b2

，
∴橢圓的焦點為F₁（-c，0）和F₂（c，0）．
由此可得圓（x-c）²+y=c²的圓心為F₂（c，0），半徑r=c．
∵圓（x-c）²+y=c²與橢圓恰有兩個公共點，
∴橢圓的右頂點（a，0）在圓的內部，
可得（a-c）²+0²=c²，解之得a＜2c，
因此橢圓的離心率e=

c

a

＞

1

2

，結合e∈（0，1），可得

1

2

＜e＜1．
故答案為：

1

2

＜e＜1