Question

如圖，在平面斜坐標系XOY中，∠xoy=θ，平面上任意一點P關于斜坐標系的斜坐標這樣定義：若

OP

=x

e

1+y

e

2（其中

e

1，

e

2分別是X軸，Y軸同方向的單位向量）．則P點的斜坐標為（x，y），向量

OP

的斜坐標為（x，y）．有以下結論：
①若θ=60°，P（2，-1）則|

OP

|=

3

②若P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則

OP

+

OQ

=(x1+x2，y1+y2)
③若

OP

=（x₁，y₁），

OQ

=（x₂，y₂），則

OP

•

OQ

=x1x2+y1y2
④若θ=60°，以O為圓心，1為半徑的圓的斜坐標方程為x²+y²+xy-1=0
其中正確的結論個數為（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：把新定義回歸到向量的數量級的運算：①可推得

OP

=2

e1

-

e2

，利用模長公式可解；②轉化為向量加法的運算即可；③利用向量的數量積可得結果；④把問題轉化為模長為1，按新定義可得．

解答：解：①若θ=60°，P（2，-1）則

OP

=2

e1

-

e2

，故|

OP

|=

(2 e1 - e2 )2

=

5-4×1×1× 1 2

=

3

，故正確；
②若P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則

OP

=x1

e1

+y1

e2

，

OQ

=x2

e1

+y2

e2

，
∴

OP

+

OQ

=(x1+x2)

e1

+(y1+y2)

e2

，即

OP

+

OQ

=(x1+x2，y1+y2)，故正確；
③若

OP

=（x₁，y₁），

OQ

=（x₂，y₂），則

OP

=x1

e1

+y1

e2

，

OQ

=x2

e1

+y2

e2

，
∴

OP

•

OQ

=(x1

e1

+y1

e2

)•(x2

e1

+y2

e2

)=x₁x₂+y₁y₂+(x1y2+x2y1)

e1

•

e2

，故錯誤；
④若θ=60°，以O為圓心，1為半徑的圓，則設圓上的任意一點P（x，y）由|

OP

|=1可得
(x

e1

+y

e2

)2=1，即x²+y²+xy-1=0，故正確．
故選C．

點評：本題為新定義，正確理解題中給出的斜坐標并與已知的向量知識相聯系是解決問題的關鍵，屬基礎題．